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2018年5月21日月曜日

微分方程式講義 (2018年版)VII

3.3 定係数微分方等式と記号解析 



この節では、定数係数線形方程式記号解析について述べる。 

この手法は一般の高階の 定数係数方程式 に適用されるので、この節では

もっぱら次の n 階方程式 を考える。


多項式の演算子 P(D) のことを、 微分方程式 P(D)y = f(x)  に対応する 

n 微分演算子 という。 


P(D),   Q(D)  を2つの任意階の微分演算子 とする。 演算子の

            {P(D) + Q(D)}y =  P(D)y + Q(D)y,          {P(D)・Q(D)}y =  P(D){Q(D)}y

により定義する。 このとき、次の性質がなりたつ。 


P(D),   Q(D),  R(D)  を3つの微分演算子 として 

(i)  (結合律)      {P(D) + Q(D)} + R(D)  =  P(D) + {Q(D) + R(D)}

                                     {P(D)・Q(D)}R(D) =  P(D){Q(D)R(D)}

(ii)   (可換律)   P(D) + Q(D) = Q(D) + P(D),    P(D)・Q(D) = Q(D)・P(D)

(iii)  (分配律)     P(D)・{Q(D) + R(D)}  =  P(D)・Q(D) + P(D)・R(D)


方程式

(3.8)                           P(D)y = f(x)


一般解を   y = [1/P(D)] f(x)   と書くとして、

逆演算  [1/P(D)] について考えてみる。

P(D) = D のときは、(3.8) は  Dy = f(x)  となるから


(3.10)        y = [1/D] f(x) = f(x)dx 


であるから、  [1/D] は不定積分 ・dx  をとることを意味している。 

ここで積分定数は記号上無視しているのを注意しておく。

次に微分方程式  (D - α )y =  f(x)  を考えよう。 積の微分公式を考えると

          D(exp(-αx) y) =   exp(-αx) Dy - α exp(-αx) y =  exp(-αx) (Dy - α y) = exp(-αx) (D - α) y 

であるから、

                D(exp(-αx) y) =  exp(-αx) f(x) 
                

             
となり (3.10) により 

                              y =  exp(αx) [1/D]{ exp(-αx) f(x) } = exp(αx) exp(-αx) f(x)dx  


となり、以前導いた公式が形式的に得られる。 

次に  (D - α )² y =  f(x)   を考えよう。

2回微分を実行すれば、 D²(exp(-αx) y) =   exp(-αx) (D - α )² y   はすぐ分かる。 

したがって 解 y は、

          y  =    [1/(D - α )²] f(x) = exp(αx) [1/D²]{ exp(-αx) f(x) } 

     = exp(αx) ∫∫ exp(-αx) f(x) dxdx  

で与えられる。 

同様に積の微分公式ライプニッツの公式)を使うと 

Dⁿ (exp(-αx) y) =   exp(-αx) (D - α )ⁿ y   なので、 

n 階方程式 (D - α )ⁿ y =  f(x)  の一般解は、

          y =    [1/(D - α )ⁿ] f(x) = exp(αx) [1/Dⁿ]{ exp(-αx) f(x) }

                 = exp(αx) ・・ exp(-αx) f(x)  dx・・dx   

で与えられる。 


次の定理は、Dⁿ (exp(-αx) y) =   exp(-αx) (D - α )ⁿ  y  と (3.9) から明らかだろう。


定理 8平行移動の原理 P(λ) を  λ の多項式とする。 

微分方程式

                                     P(D - α) y = f(x)

に対して


          P(D){exp(-αx) y)} = exp(-αx) f(x)


が成り立つ。



 次に α と β を相異なる実数として 2階微分方程式  

(3.11)                (D - α)(D - β)y =  f(x) 


を考えよう。 形式的な計算をする。 部分分数展開より 

               1/(D - α)(D - β) = [-1/(β-α)] (1/(D - α)  -  1/(D - β) )

となるから、

(3.12)               y =   [-1/(β-α)]{ [1/(D - α)] f(x) - [1/(D - β)] f(x) }

とおくと、 定義により 分母分子をキャンセルして

     (D - α)(D - β)y = [-1/(β-α)]{ (D - β) f(x) - (D - α) f(x)

                             = [-1/(β-α)]{ Df(x) - β f(x) - (Df(x) - α f(x))} = f(x)

つまり、 (3.12)  は (3.11) の一般解となる。 

この事を一般化して部分分数展開を用いると、次の定理が得られる。


  定理 9     α₁, ・・・, αn を 相異なる実数とする。 

n 階微分方程式 

           (D - α1)・・・(D - αn )y =  f(x) 
                           
に対して

1/(D - α1 )・・・(D - αn ) = β1[1/(D - α1 )]  +  ・・・  +  βn[1/(D - αn )]
         

と展開されるならは、 一般解は

   y =  β1[1/(D - α1 )] f(x) +  ・・・  +  βn[1/(D - αn )] f(x) 


で与えられる。




さて、定数係数の2階方程式

(D² + aD + b)y  = f(x) において 特性方程式が虚根を持つ場合を考えよう。

まづ、純虚根 ± βi  を持つ場合 

(3.13)         (D² + β²)y  = f(x) 

を考える。 一般解は、  y =   [1/(D² + β²)] f(x)  で与えられる。

部分分数展開をおこなうと、


 
                1/(D² + β²) = [1/(2βi)] (1/(D - βi)  -  1/(D + βi ) ) 

となるから、   

  y = [1/(2βi)] ( [1/(D - βi)]f(x)  -  [1/(D + βi)]f(x) )  

                 = [1/(2βi)] (exp(iβ x) [1/D]{exp(-iβ x) f(x)}  -  exp(-iβ x) [1/D]{exp(iβ x) f(x)} 


となる。 ここで、オイラーの公式

 
exp(±iβ x) = cos βx ± i sin βx  を使って整理すると

y = [sin βx/β] [1/D]{f(x)cos βx } -  [cos βx/β] [1/D]{f(x)sin βx }

となる。 これは、以前求めた結果になっている。 

次いで、特性方程式が 2虚根 α ± βi

をもつ場合の方程式

(3.14)         ((D-α)² + β²)y  = f(x) 

を考える。 定理 8 を使うと (3.14) から

                   (D² + β²)(exp(-αx) y)  = exp(-αx) f(x) 

がいえるので、(3.13) の形になる。 

したがって (3.14) の一般解は

         y =  [1/(D-α)² + β²)]f(x) = exp(αx) [1/(D² + β²)]{exp(-αx) f(x)}

すなわち

 (3.15)   y  =  exp(αx) { [sin βx/β] [1/D]{f(x)exp(-αx) cos βx }

                                         - [cos βx/β] [1/D]{f(x)exp(-αx) sin βx } }


次に微分作用素の既約分解を述べよう。

多項式 P(λ) が互いに素な多項式  P1(λ) と P2(λ) を用いて  P(λ)=P1(λ)P2(λ)  

となっているとする。 このとき、部分分数展開より

(3.16)              [1/ P(λ)] =  Φ1(λ)/P1(λ) + Φ2(λ)/P2(λ)    

となる多項式 Φ1(λ) と Φ2(λ)  が存在する。 このとき   P(D) y = f(x)   の一般解は 

y = [1/P(D)]f(x)  とかけるが、上の分解から推測されるように、

   y = [1/P1(D)]{Φ1(D)f(x)} +   [1/P2(D)]{Φ2(D)f(x)}

がなりたつ。 これを定理の形にまとめる。


定理 10       互いに素な多項式  P1(λ) と P2(λ) を用いて 

P(λ)=P1(λ)P2(λ)   となっているとする。 

さらに部分分数展開  (3.16)  が成り立つとする。 このとき

P(D) y = f(x)   の一般解 y は

(3.17)  y = [1/P1(D)]{Φ1(D)f(x)} +   [1/P2(D)]{Φ2(D)f(x)}

で与えられる。   


(証明) (3.16)  の両辺に P(λ)=P1(λ)P2(λ) をかけると

                                      1 =  Φ1(λ)P2(λ) + Φ2(λ)P1(λ)

だから 

               Φ1(D)P2(D) + Φ2(D)P1(D) = I

ここで、I は恒等作用素 とする。  すなわち任意の関数 y に対して

             Φ1(D)P2(D)y + Φ2(D)P1(D)y = y              (1)

が成り立つ。  P(D) y = f(x)  の両辺に Φ1(D) を施して Φ1(D)P(D) y = Φ1(D)f(x)  より

P(D)=P1(D)P2(D)=P2(D)P1(D) および Φ1(D) との可換性 を用いると、 

P1(D){Φ1(D)P2(D)y}= Φ1(D)f(x)  となり 

                                 Φ1(D)P2(D)y =  [1/P1(D)]{Φ1(D)f(x)}                  (2)

同様に 

                Φ2(D)P1(D)y =  [1/P2(D)]{Φ2(D)f(x)}                 (3)


(2) と (3) を加えて (1)  を使えば 

           y = [1/P1(D)]{Φ1(D)f(x)} +   [1/P2(D)]{Φ2(D)f(x)}

が得られる。      (証明終)




ここで演算子 [1/P(D)]  についての簡単な一般公式を述べておく。


公式 (1)   P(λ)=P1(λ)P2(λ)  のとき、 微分方程式 P(D)y = f 

の一般解は

         y = [1/P1(D)]{[1/P2(D)]f} =  [1/P2(D)]{[1/P1(D)]f}

であたえられる。

公式 (2)   f = f1+ f2  のとき、 

               [1/P(D)]{f} =  [1/P(D)]{f1} +  [1/P(D)]{f2}



証明は、明らかだろう。 この公式 (2) を使うと 微分方程式

            (D - α)(D - β)y =  f(x)      (α  ≠ β)
  
の一般解は、 部分分数展開を用いるか

      y =   [1/(D - α)] [1/(D - β)] f(x) =exp(α x) [1/D] {exp(-α x) [1/(D - β)] f(x)}

        =  exp(α x) [1/D] exp((β-α) x) [1/D] {exp(-βx)f(x)}


としても求められる。
定理 10 をつかうと、多項式の因数分解定理 から次の定理が示される。
演算子 [1/P(D)] についての基本的事項をのべる。

(1)   P(D)exp(α x) = P(α)exp(α x)

(2)  [1/(D - α)ⁿ]0 = (C1 + C2 x + ・・・ + Cn xn-1 )exp(α x)

(3)   P(λ)  が、互いに素な多項式  P1(λ) と P2(λ) 

を用いて  P(λ)=P1(λ)P2(λ) となるとき、

  
               [1/P(D)]0 =  [1/P1(D)]0 +  [1/P2(D)]0 

(4)    [1/(D² + β²)ⁿ]0

    = {C1 + C2 x + ・・・ + Cn xn-1 }cos βx

               + {C'1 + C'2 x + ・・・ + C'n xn-1 }sin βx


(証明) (1) あきらか。

(2)  [1/(D - α )ⁿ] 0 = exp(αx) [1/Dⁿ]0 = exp(αx)・・ 0 dx・・dx    (積分はn重)

                                   = exp(αx)・・ c1 dx・・dx   (積分は(n-1)重)

                                  = ・・・ = (C1 + C2 x + ・・・ + Cn xn-1 )exp(α x)


(3) 定理 10 で f(x)=0 とおけばよい。

(4)   (D² + β²)ⁿ = (D + iβ)ⁿ (D - iβ)ⁿ   なので、 (2)、(3) を用いて

     [1/(D² + β²)ⁿ]0 = [1/(D + iβ)ⁿ]0 +  [1/(D - iβ)ⁿ]0

                      ={A1 + A2 x + ・・・ + An xn-1 }exp(-iβx)

                          + {A'1 + A'2 x + ・・・ + A'n xn-1 }exp(iβx)

 ここで、オイラーの公式を使い、定数を適当に置き換えれば

[1/(D² + β²)ⁿ]0 = {C1 + C2 x + ・・・ + Cn xn-1 }cos βx

                              + {C'1 + C'2 x + ・・・ + C'n xn-1 }sin β
   

が得られる。


(2)-(4)は、斉次形の方程式 P(D)y = 0 の一般解を求めるのに使われる。